Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Las matemáticas parecen dotar a uno de un nuevo sentido.
Charles Darwin

Para resolver un problema de dos ecuaciones lineales existen varios métodos, pero para no confundirnos solo revisaremos un método muy simple, el método de reducción primero necesitamos nuestro sistema de ecuaciones el cual es el siguiente;

3X + 2Y = -6

 2X + 4Y = 16

Y a continuación lo resolveremos paso a paso.

Elegimos la variable que queramos eliminar la de nuestra elección, en este caso eliminaremos la letra Y. 

Por lo tanto cruzaremos el numero 2 y lo ponemos multiplicando a 2X + 4Y= 16  "y" el número 4 le cambiamos su signo a negativo (ya que está en positivo) y lo ponemos multiplicando a 3X + 2Y = 6, de modo que nos quede de la siguiente manera: 

-4(3X + 2Y = -6)

2(2X + 4Y = 16)

     

obtenemos el producto de la multiplicación previamente mostrada, la cual queda de la siguiente manera:

-12X - 8Y = 24

4X + 8Y = 32

Ahora debemos hacer una suma algebraica y como tenemos dos términos iguales (que es -8Y + 8Y) pero con diferente signo, estos se restarán dejando el sistema de la siguiente manera.

-8X=56

Seguido de esto solo nos queda despejar la X y resolver la división que se nos presenta.

X= 56/8

X= 7

Ya con nuestro valor de X regresamos al sistema original (NO EN EL QUE MULTIPLICAMOS) y sustituimos nuestro valor de X de la siguiente manera:

3(7) + 2Y = -6

2(7) + 4Y = 16

Y hacemos las operaciones necesarias para obtener nuestra variable Y:

21+ 2Y = -6

14 + 4Y = 16

Pasa a la siguiente forma:

2Y = - 27

4Y = 2

Hacemos la suma algebráica:

6Y = -25

 

Y despejamos nuestra variable Y:

Y= -25/6

Y= - 4.1

Y para finalizar apuntamos nuestros dos valores:

X = 7

Y = -4 .1

Sencillo, ¿no? ahora es tu turno.

152X - Y = 114500                  56X - 7Y = 9            8X + 9Y = 10

190X - Y = 0                           28X + 14Y =30        7X + 3Y = 9

 

  

                

Funciones cuadráticas

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo.

Galileo Galilei

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola, y se representa con una ecuación cuadrática.

f(x) ax² + bx + c

Como vimos en el tema de funciones las funciones cuadráticas se resuelven de la misma manera se plantean n numero de datos en las X y se va sustituyendo, nada mas que en este caso a la hora de graficar obtendremos una parábola como la de la imagen anterior.

Ahora hazlo tu, realiza las siguientes operaciones y gráficalas.

• 2X² - 3X -7
• 9X² - 8X - 3
• X² + 50X -21 

http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html

Función lineal

Las matemáticas se escriben para los matemáticos.

Nicolás Copérnico

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

Donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.
Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).


Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2
Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)


Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)




Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11
Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14
Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17


Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.


g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7
Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4
Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1


Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.


h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4
Si x= 98 entonces h(98) = 4


Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

http://matefacil01.blogspot.mx/2011/05/funcion-lineal.html

Modelos matemáticos y funciones

Las matemáticas se escriben para los matemáticos.

Nicolás Copérnico

Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

Y se dividen en dos:

• Modelos cualitativos, estos pueden usar figuras, gráficos o descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado del sistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá alguna magnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de aspectos.
• Modelos cuantitativos usan números para representar aspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. El cálculo con los mismos permite representar el proceso físico o los cambios cuantitativos del sistema modelado.

Ahora pasaremos a las funciones.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Por ejemplo: si acomodamos dos filas de números cual sería la función que representarían en el eje de las Y o f(x).

X       Y "o" f(x)

1------1

2------4

3------9

4------16

Si pensaste que la función correcta es Y = X² estas en lo correcto ya que como fue mencionado anteriormente una función es la relación entre un conjunto dado X con otro conjunto de elementos dado Y.

En una función, siempre que tengamos un grupo de números que sean parte de una variable estos se sustituiran, cada uno para obtener el dato faltante ya sea en X o Y

Hagamos la función anterior con los datos de X paso a paso

• Y= X² = (1)² = 1
• Y= X² = (2)² = 4
• Y= X² = (3)² = 9
• Y= X² = (4)² = 16

Fácil, ¿no? Ahora hazlo tu.

• 2X² + 6
• 7X² - 3X + 2
• 5X+10
• 4X²+25X - 10

 http://www.profesorenlinea.mx/matematica/Funciones_matematicas.html

Sistema de coordenadas cartesianas

Dos personas son un mundo y una persona es la mitad de sí mismo. Todas las matemáticas se estrellan contra esa realidad.

Silvina Bullrich

Un sistema de coordenadas cartesianas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí,

que se cortan en el origen.



Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos.

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.

La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.


http://www.ditutor.com/funciones/sistemas_coordenadas.html

Desigualdad y valor absoluto

Con números se puede demostrar cualquier cosa.
Thomas Carlyle (1795-1881)

Una desigualdad expresa que dos valores no son iguales.

a ≠ b expresa que a es diferente de b

Hay otros símbolos especiales que muestran en qué sentido las cosas no son iguales.

a < b dice que a es menor que b
a > b dice que a es mayor que b
(estos dos son conocidos como desigualdades estrictas)

a ≤ b significa que a es menor o igual que b
a ≥ b significa que a es mayor o igual que b.

En cuanto al valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras.

|−5| = 5

|5| = 5

Ahora hazlo tu.

|6| =

|-20| =

|7|=

|-10|=

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/desigualdad.html

http://www.ditutor.com/numeros_enteros/valor_absoluto.html

Ecuaciones cuadráticas

Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.
Bertrand Russell (1872-1970)

Es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.

Se representa de la siguiente manera:

ax² + bx + c

En un ejemplo representado con números nos encontramos con algo así:

2x² + 3x +1

Para resolverlas existe una fórmula que es la siguiente:

-b (+/-)(√b²-4ac) / 2a

Ahora con la fórmula planteada resolveremos el ejercicio del ejemplo paso por paso:

1. Separamos los números de la variable de manera que queden: a=2, b=3, c=6
2. Sustituimos cada valor en su respectiva letra dentro de la formula

        -3(+/-)[√3²-4(2)(1)]/ 2(2)

     3.  Realizamos las operaciones necesarias (en este caso es una raíz y una división):

• √9-8 = 1
• 2/2 = 1

     4.  Ahora con nuestros nuevos datos procedemos a realizar las operaciones faltantes (obtener                   nuestra x1 y x2.

• x1= (- 3+1)/1 = - 2
• x2= (- 3-1 )/1 = - 4

Ahora hazlo tu:

3x² - 4x + 2

9x² + x -7

-8x² -5x + 4

Exponentes enteros

Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filósofia.
Isocrates (436 AC - 338 AC)

Los exponentes es algo simple son todos aquellos números pertenecientes a los reales que son enteros 1, 3, -5, -2, etc.

Ejemplo:

n²

2² = 4

En cuanto a las raíces reales son aquellas raíces que se pueden resolver utilizando números reales.

Expresiones racionales

"Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero"

Bertrand Russell (1872-1970)

Una expresión racional es como la siguiente:

p(x)/q(x)

Donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) debe ser diferente de 0. Al igual que las fracciones numéricas, al polinomio p(x) se le llama numerador y al polinomio q(x) se le llama denominador.

Ejemplo:

X^2 /X^2 - 1

• X^2 es el numerador. 
• X^2 - 1 es el denominador

Fuente: http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/ratexp/ratexpesp_home.html

Polinomios y factorización

Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad.

Albert Einstein (1879-1955)

Polinomios.

Los polinomios son expresiones matemáticas que se componen de tres o expresiones algebraicas.

Estos están compuestos de constantes (1,3, 1/9, -4/6, etc), variables: (a,b,c...x,y,z) y exponentes (0..1,2,3).

Ejemplo:

3y^2+2y+5

Factorización.

Es hallar dos o mas factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

A continuación haremos un ejemplo por pasos para factorizar un polinomio.

Factorizaremos el polinomio X^2 - 6X - 8

1. Buscamos números que multiplicados nos den 8 y sumados o restados nos den 6

         Estos números son: -4  x -2 = 8  "y"  -4 -2= -6 

     

     2.  Por lo tanto nuestro resultado sería:

            (X - 4) (X - 2)

          Ya que al hacer las respectivas operaciones aritméticas quedaría de la siguiente                         manera:

          (X^2 - 2X - 4X +8) 

      

     3.  Reduciendo términos el resultado es: X^2 - 6X + 8

Ahora inténtalo tu.

X^2 - 5X + 25

X^2 - 4X - 28

X^2 + 128X + 64

Fuente: http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_9_Fact.htm

Números Reales

Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad.

Albert Einstein (1879-1955)

Los números reales son aquellos números que usamos todos los días, ya sean: Números enteros(1,2,3...5, -3-2-1), Números racionales (1/2, -3/4, .0003, 9.5), Números irracionales (raíces cuadradas, cubicas, Pi).

Los números reales pueden ser positivos, negativos e incluso cero.

En cambio los números no reales son aquellos que son imaginarios, así cómo: las raíces cuadradas de números negativos o el "infinito".

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-reales.html

Redondeo de decimales

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.

René Descartes (1564-1650)

¿Qué es redondear?

Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor parecido. El resultado es menos exacto, pero más fácil de usar.

Ejemplos: 

• 73 redondeado a la decena más cercana es 70, porque 73 está más cerca de 70 que de 80. 

• 3.1416 redondeado a las centésimas es 3.14 ya que la cifra siguiente (1) es menor que 5

• 1.2635 redondeado a las décimas es 1.3 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más

Ahora hazlo tu.

• 2.561
• 7.1975
• 9.283
• 5.99836

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/redondeo-numeros.html

Prioridad de operadores y uso de paréntesis

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

Galileo Galilei (1564-1642).

Para poder calcular el resultado de una operación que contiene paréntesis se tienen que seguir una serie de pasos, los cuales serán enumerados a continuación desde el primero al último:

1°.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

Ejemplo:

(3-7 * 6)+5^2/ - 7 + (2 * 5) - 4 

1° Calculamos lo que se encuentra entre paréntesis:

• (3-7 * 6) = - 39
• (2 * 5) = 10

2° Calculamos las potencias del ejercicio

• 5^2 (cinco al cuadrado) = 25

3° Hacemos las multiplicaciones y divisiones necesarias.

• En este ejercicio no contamos con multiplicaciones o divisiones fuera de los paréntesis a excepción de la división final.

4° Realizamos las sumas y restas faltanes.

• 39+25 = -14
• -7 + 10 - 4 = -1

5° Dividimos nuestros resultados 

• - 14/- 1= 14

Ahora hazlo tu.

1. - 2 + 3 (2 - 5) * 3 - (3 - 5 + 2) - 2 (3 - 4)
2. 8 ( 6 - (-3 + 7 ) - 6 ) + 4
3. 7 - 8 ( 2 * 6) / 9 - (4 * 7) - 15

Fuente: http://www.ditutor.com/numeros_naturales/jerarquia_operaciones.html